Экстремум функции двух переменных онлайн

Открыть меню Условный экстремум функции онлайн калькулятор. Условный экстремум Определение1 : Считается, что функция имеет локальный максимум в точке, если существует окрестность точки, для которой для каждой точки M с координатами x, y выполняется неравенство:.

.

Здесь, т. Определение2 : Считается, что функция имеет локальный минимум в точке, если существует такая окрестность точки, для которой для каждой точки M с координатами x, y выполняется неравенство:. Определение 3 : Точки локального минимума и максимума называются точками экстремума. Условные экстремумы При поиске экстремумов функции многих переменных часто возникают проблемы, связанные с тем, что называется условным экстремумом.

Это понятие можно объяснить на примере функции двух переменных. Предположим, у нас есть функция и прямая L в плоскости 0xy. Задача состоит в том, чтобы найти точку P x, y на прямой L, в которой значение функции является наибольшим или наименьшим по сравнению со значениями этой функции в точках прямой L, находящихся вблизи точки P.

Такие точки P называются точками условного экстремума функции на прямой L. В отличие от обычной точки экстремума, значение функции в точке условного экстремума сравнивается со значениями функции не во всех точках некоторой ее окрестности, а только в тех, которые лежат на прямой L. Совершенно ясно, что точка обычного экстремума, он же безусловный экстремум, является точкой условного экстремума для любой прямой, проходящей через эту точку.

Обратное, конечно, не верно: точка условного экстремума может не быть точкой обычного экстремума. Позвольте мне объяснить сказанное на простом примере. График функции - это верхняя полусфера. Эта функция имеет максимум в начале координат и соответствует вершине M полусферы. Это точка условного экстремума максимума функции на данной прямой; она соответствует точке М 1 на полусфере, и из рисунка видно, что ни о каком условном экстремуме здесь речи не идет. Заметим, что в заключительной части задачи на нахождение максимального и минимального значений функции в замкнутой области мы должны найти экстремум функции на границе этой области, т.е. на некоторой прямой, и тем самым решить задачу на условный экстремум.

Это соотношение будем называть уравнением связи. Найдя значения x, при которых данная функция достигает экстремума, и определив затем соответствующие значения y из уравнения связи, мы получим искомые точки условного экстремума. Подставляя выражения для x и y в заданную функцию, мы снова приходим к задаче нахождения экстремума функции одной переменной.

Если уравнение связи имеет более сложную форму и мы не можем выразить одну переменную явно через другую или заменить ее параметрическими уравнениями, то задача нахождения условного экстремума усложняется.

В точках условного экстремума найденная общая производная должна быть равна нулю; это дает одно уравнение, связывающее x и y. Поскольку они также должны удовлетворять уравнению связи, мы получаем систему из двух уравнений с двумя неизвестными. Мы преобразуем эту систему в гораздо более удобную, записав первое уравнение в виде пропорции и введя новое вспомогательное неизвестное: для удобства перед ним ставится знак минус.

Приведенная выше система уравнений в общем случае содержит только необходимые условия, то есть не каждая пара значений x и y, удовлетворяющая этой системе, обязательно является точкой условного экстремума.

Я не буду приводить достаточные условия для точек условного экстремума; очень часто конкретное содержание задачи само подсказывает нам, что такое найденная точка.

Описанный мною метод решения задач с условным экстремумом называется методом множителей Лагранжа. Для функции точка является точкой минимума Рис. Для функции точка 0 0,0 является точкой максимума Рис. Для функции точка 0 0,0 является точкой локального максимума.

Значение функции в точке максимума называется максимумом, а значение функции в точке минимума - минимумом этой функции. Точки максимума и минимума функции называются точками экстремума функции, а максимумы и минимумы функции - ее экстремумами. Теорема 11 - необходимое условие экстремума. Если функция является экстремумом функции нескольких переменных Понятие экстремума функции нескольких переменных. <Необходимые и достаточные условия экстремума Условный экстремум Наибольшее и наименьшее значения непрерывных функций имеют экстремум в некоторой точке, тогда в этой точке каждая частная производная и þ либо обращается в нуль, либо не существует. Пусть мы задали переменной y значение yo. Аналогично проверяем, что она либо равна нулю, либо не существует.

Теорема 11 выражает только необходимые условия экстремума, которые не являются достаточными. Функция рис. Но эта функция является тонкой на имватт "страмум. Действительно, функция равна нулю в точке 0 0,0 и принимает как положительные, так и отрицательные значения в точках M x,y , сколь угодно близких к точке 0 0,0 Пример Найдите экстремум функции, если x и y связаны соотношением:.

Геометрически задача означает следующее: на эллипсе плоскостью Эта задача может быть решена следующим образом: из уравнения находим

Навигация

thoughts on “Экстремум функции двух переменных онлайн

  1. Можно ли взять одну картинку с Вашего блога? Очень понравилась. Линк на Вас есстественно поставлю.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *