Индекс массива недействителен для данного массива

X и Y - массивы, задающие декартовы координаты точек, через которые проходит полином Лагранжа, n - степень полинома, roots - массив корней приведенного полинома Pk, coefk - массив его коэффициентов, An - коэффициент полинома, вычисленный из условия прохождения полинома Pk через точку с координатами X[k], Y[k], coefL - массив коэффициентов полинома Лагранжа, HornerP - метод, вычисляющий значение полинома по его коэффициентам и значению координаты x, CalcCoefFromRoots - метод, вычисляющий массив коэффициентов приведенного полинома по его корням.

Сложение и умножение многочленов При рассмотрении многочлена Лагранжа необходимо было найти сумму многочленов одной степени, заданных своими коэффициентами. Тогда суммой многочленов является многочлен Р x степени n, коэффициенты которого вычисляются следующим образом: Пусть полиномы P x и Q x заданы, как и полиномы Лагранжа, точками, через которые они проходят: Тогда нетрудно найти аналогичное представление для полинома R x, который представляет собой сумму полиномов: В этом случае нужно вычислить значения многочлена Q x в n точках.

Если многочлены P x и Q x заданы своими корнями, то корни многочлена суммы определить невозможно, более того, сумма может вообще не иметь корней. В таком случае коэффициенты каждого многочлена можно вычислить по корням, а затем определить коэффициенты многочлена суммы.

Вы также можете рассматривать корни как частный случай набора точек, через которые проходит многочлен, и применить предыдущую схему для определения набора точек, через которые проходит многочлен суммы.

Как вычисляется произведение, если даны полиномы P x и Q x? Заметим, что произведение многочленов часто встречается на практике и имеет специальное название: свертка многочленов. В отличие от сложения многочленов, свертку проще всего найти, если даны корни обоих многочленов. Если многочлены P x и Q x имеют совпадающие корни, то S x будет иметь несколько корней.

Если исходные многочлены P x и Q x заданы своими точками, то легко получить набор точек для произведения многочленов. Схема примерно такая же, как и при сложении многочленов, заданных точками: чтобы получить набор точек, дающий представление многочлена S x, нужно вычислить значение многочлена Q x в n точках и значение многочлена P x в m точках, а затем перемножить значения двух многочленов соответственно.

Если исходные многочлены P x и Q x заданы своими коэффициентами, то имеем: Каждый член первой суммы нужно умножить на все члены второй суммы и затем дать аналогичные члены при тех же степенях x. Легко видеть, что в результате коэффициенты многочлена S x определяются следующими соотношениями: Суммирование идет по всем множествам k и r, дающим в сумме значение i.

Суммирование идет по всем множествам k и r, дающим в сумме значение i.

Подводя итог, отметим, что многочлен можно определить тремя различными способами - по его коэффициентам, по его корням и по точкам, через которые проходит многочлен. Для вычисления значения многочлена в одной точке используется схема Горнера, которая выполняет вычисления за линейно пропорциональное n время. Существует также обратное преобразование. Задача получения коэффициентов многочлена по точкам называется задачей интерполяции, а многочлен Лагранжа - интерполяционным многочленом. Если даны корни, то можно получить два других представления.

Рассмотренный нами алгоритм позволяет вычислить коэффициенты многочлена за время O n2 из корней многочлена. Алгоритм использует итерационную схему из n шагов, где на каждом шаге операция возведения в степень выполняется за линейное время.

Поскольку корни являются частным случаем задания множества точек, через которые проходит многочлен, задание корней автоматически дает представление многочлена множеством точек. Обратная задача, получение корней по коэффициентам или заданным точкам, не может быть решена так просто. Точное решение существует для многочленов второй и третьей силы, но не в общем случае. Чтобы найти корни, приходится использовать приближенные итерационные методы, такие как простая итерация или метод Ньютона.

Нахождение многочлена по его корням является наиболее информативным. Если корни известны, то многочлены могут быть свернуты без труда. Вычисление многочлена в заданной точке производится за n умножений, не требуя использования процедуры Горнера. Операция сложения полиномов несколько сложнее. К сожалению, на практике редко встречается ситуация, когда корни многочлена известны, но такое случается - примером может служить алгоритм Лагранжа. Когда многочлены заданы своими коэффициентами, вычисление значения многочлена в данной точке производится по схеме Горнера за линейное время.

Сложение полиномов также является простой операцией и занимает линейное время. Свертка полиномов в данном случае сложнее. Рассмотренный нами алгоритм уже требует квадратичного времени. На практике полиномы чаще всего появляются, когда задан набор точек. Обычно ситуация выглядит следующим образом. В результате экспериментов измеряются значения некоторой функции в ряде точек.

Предскажите, каким будет значение этой функции в других точках, в которых измерения не проводились. Если форма функции неизвестна из теоретических соображений, то чаще всего ее определяют в виде полинома, проходящего через точки, полученные экспериментально. В такой постановке задача построения полинома и вычисления значений полинома в точках, не подвергавшихся измерениям, называется задачей интерполяции, а полином Лагранжа - интерполяционным полиномом.

Задача интерполяции решена правильно, если новые точки, в которых производятся вычисления, лежат в интервале, определяемом измеренными точками. Полиномы плохо подходят для решения задачи экстраполяции, когда точки лежат вне интервала измерений, поскольку значение полинома быстро возрастает вне этого интервала.

Чем выше степень полинома, тем быстрее он растет. Набор точек, через которые проходит полином, обычно несет дополнительную информацию. Некоторые точки, например, могут быть корнями многочлена или определять интервалы, в которых находятся корни. Одно замечание к проблеме свертки полиномов. Приведенный выше алгоритм решения этой задачи для полиномов, определяемых своими коэффициентами, требует квадратичного времени.

Ввиду практической важности этой проблемы, большое внимание было уделено поиску наиболее эффективного по времени алгоритма. Эти алгоритмы используют методы быстрого преобразования Фурье и обратного преобразования Фурье. Они более сложны в реализации и требуют работы с комплексными числами или модульных арифметических операций.

В этом разделе они только упоминаются, но не обсуждаются подробно. Цели в этом разделе больше не определяют, хотите ли вы создать консольный или Windows-проект. Предполагается, что общепринятой практикой является создание Windows-приложений. Дан массив координат X. Вычислите, используя схему Горнера, массив значений полиномов в точках xi. Вычислите массив значений полинома в точках xi. Вычислите коэффициенты полинома. Дан массив чисел X. Постройте многочлен Q X , который имеет корни из чисел массива X и корни многочлена P x.

Для многочлена известны два его корня, x0 и xn. Постройте многочлен Q x , корни которого совпадают с корнями многочлена P x за исключением корней x0 и xn. Вычислите коэффициенты суммы многочленов P x и Q x.

Вычислите коэффициенты произведения многочленов P x и Q x. Определите интервал, если таковой имеется, в котором многочлен имеет хотя бы один корень. Найдите корень с заданной точностью, используя схему дихотомии. В основу поиска положите схему исследования интервала и дихотомии.

Основать поиск на методе простой итерации. Основывайте поиск на методе Ньютона. Проект 2: Методы класса должны реализовывать все алгоритмы, рассмотренные в данном разделе.

Пользовательский интерфейс должен позволять пользователю решать основные проблемы, возникающие при работе с многочленами. Алгоритмы линейной алгебры Матрица - это набор чисел с m строками и n столбцами. Для программиста матрица - это двумерный массив. Числа m и n определяют размерность матрицы. Операции транспонирования, сложения и умножения определены для прямоугольных матриц. В транспонированной матрице строки исходной матрицы становятся столбцами. <Операция сложения определена над прямоугольными матрицами одинаковой размерности. Тогда сумма матриц определяется естественным образом: Операция умножения определена над прямоугольными матрицами с числом столбцов первого фактора, равным числу строк второго фактора. Матрица произведения имеет число строк, равное числу строк первого фактора, и число столбцов, равное числу столбцов второго фактора. <Элементы матрицы произведения определяются как сумма попарных произведений элементов строки первого фактора на элементы столбца второго фактора. Определитель обычно обозначается единичными линиями вокруг набора чисел, определяющих матрицу: Функция, определяющая определитель, обладает некоторыми важными свойствами: Определитель диагональной матрицы равен произведению диагональных элементов. <Отсюда следует, что определитель матрицы E равен 1; Определитель матрицы не меняется, когда мы выполняем элементарные преобразования матрицы. Операция элементарного преобразования - это добавление к любой строке матрицы линейной комбинации других ее строк. Если определитель квадратной матрицы A ненулевой, то существует обратная матрица, обозначаемая как A В группе существует единичный элемент, для каждого элемента существует обратный ему элемент, а произведение элементов принадлежит группе.

Иногда полезно рассматривать матрицу, состоящую не из элементов, а из ячеек, каждая из которых является матрицей. Все определения операций над матрицами, элементами которых являются числа, транспонируются на матрицы, элементами которых являются клетки. Такое представление особенно полезно для разреженных матриц, где большинство элементов - нули. Тогда мы можем представить такую матрицу в виде клеточной матрицы, многие клетки которой равны нулю.

Используя знания о структуре таких матриц, можно в результате значительно сократить объем вычислений. Пусть теперь некоторые клетки равны нулю, например, клетки D, F и G. Тогда матрица M2 имеет вид: Для того чтобы вычислить матрицу M2, нужно найти произведение трех пар матриц, но гораздо меньшего размера, чем исходные матрицы.

Общий объем вычислений сократится более чем в три раза. Иногда нам приходится иметь дело с треугольными матрицами, в которых все элементы выше или ниже диагонали равны нулю. Квадратная матрица называется нетреугольной, если все элементы над главной диагональю равны нулю, и верхней треугольной матрицей, если все элементы под главной диагональю равны нулю.

Вектор правых частей b системы уравнений имеет аналогичный вид. В матричной форме условие существования решения системы линейных уравнений 8 и нахождение самого решения формулируется достаточно просто.

Для существования решения необходимо и достаточно, чтобы определитель матрицы A был ненулевым. Тогда матрица A имеет обратную матрицу A

.

Навигация

thoughts on “Индекс массива недействителен для данного массива

  1. Теперь стало всё ясно, большое спасибо за информацию. Вы мне очень помогли.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *